Arma Moving Average Representation

Representação média móvel de aproximações autorregressivas Peter Bhlmann 1 Departamento de Estatística, Universidade da Califórnia, Evans Hall, Berkeley, CA 94720, EUA Disponível on-line 5 de abril de 2000. Estudamos as propriedades de uma MA () - representação de uma aproximação autorregressiva para uma Processo imobilizado e de valor real. Ao fazê-lo, damos uma extensão do teorema de Wieners na configuração de aproximação determinística. Ao lidar com dados, podemos usar este novo resultado chave para obter informações sobre a estrutura de MA () - representações de modelos autoregressivos ajustados, onde a ordem aumenta com o tamanho da amostra. Em particular, damos um limite uniforme para estimar os coeficientes da média móvel através da aproximação autorregressiva, sendo uniforme em todos os números inteiros. AR () Análise do complexo causal Função de resposta ao impulso Invertida Processo linear MA () Mistura Série temporal Função de transferência Processo estacionário Referências An et al. 1982 H.-Z. A. Z.-G Chen. E. J. Hannan Autocorrelação, auto-agressão e aproximação autorregressiva Ann. Esttista. Volume 10. 1982. pp. 926936 Corr: H.-Z. A. Z.-G Chen. E. J. Hannan Autocorrelação, auto-agressão e aproximação autorregressiva Ann. Esttista. Volume 11. 1982. p. 1018 Berk, 1974 K. N. Berk Estimativas espectrales autorregressivas consistentes Ann. Esttista. Volume 2. 1974. pp. 489502 Bhansali, 1989 R. J. Bhansali Estimativa da representação média móvel de um processo estacionário por modelo modelo autorais J. Time Series Anal. Volume 10. 1989. pp. 215232 Bhansali, 1992 R. J. Bhansali Estimação autoregressiva do erro quadrático médio de predição e uma medida R 2: uma aplicação Nova Orientação na Análise da Série de Tempo. D. Brillinger. P. Caines. J. Geweke. E. Parzen. M. Rosenblatt. SENHORA. Taqqu. 1992. Springer, Nova York. Pp. 924 Parte I Bickel e Bhlmann, 1995 P. J. Bickel. P. Bhlmann Misturando os teoremas da propriedade e do limite central funcional para um sketch bootstrap em séries temporais, Tech. Rep. 440. 1995. Departamento de Estatística, UC Berkeley, Berkeley, CA Brillinger, 1975 D. R. Brillinger Time Series Data Analysis and Theory. 1975. Holt, Rinehart e Winston, New York Brockwell e Davis, 1987 P. J. Brockwell. R. A. Davis Time Series: Theory and Methods 1987. Springer, New York Bhlmann, 1995 P. Bhlmann Sieve bootstrap para séries temporais, Tech. Rep. 431. 1995. Departamento de Estatística, UC Berkeley, Berkeley, CA Deistler e Hannan, 1988 M. Deistler. E. J. Hannan The Statistical Theory of Linear Systems 1988. Wiley, Nova Iorque Doukhan, 1994 P. Doukhan Mixing Properties and Examples. Notas de aula nas estatísticas. Volume Vol. 85. 1994. Springer, Nova Iorque Durbin, 1960 J. Durbin A montagem de modelos de séries temporais Rev. Internat. Esttista. Inst. Volume 28. 1960. pp. 233244 Efron, 1979 B. Efron Bootstrap métodos: outro olhar para o Jackknife Ann. Esttista. Volume 7. 1979. pp. 126 Gelfand et al. 1964 I. Gelfand. D. Raikov. G. Shilov Comutative Normed Rings 1964. Chelsea, Nova Iorque Hannan, 1987 E. J. Hannan Rational transferência função aproximação Stat. Sci. Volume 5. 1987. pp. 105138 Hannan e Kavalieris, 1986 E. J. Hannan. L. Kavalieris Regressão, modelos de autorregressão J. Time Series Anal. Volume 7. 1986. pp. 2749 Kreiss, 1988 J.-P. Kreiss inferência estatística asintótica para uma classe de processos estocásticos 1988. Habilitationsschrift, Universitt Hamburg, Hamburg, Alemanha Kromer, 1970 R. E Kromer Propriedades assintóticas do estimador espectral autorregressivo, Ph. D. tese. 1970. Dept. Statistics, Stanford University, Stanford, CA Lewis e Reinsel, 1985 R. A. Lewis. G. C. Reinsel Previsão de séries temporais multivariadas por montagem de modelos autorregressivos J. Multivariante Anal. Volume 16. 1985. pp. 393411 Ljung, 1978 L. Ljung Análise de convergência de métodos de identificação paramétrica IEEE Trans. Automático. Controle AC-23. 1978. pp. 770783 Ltkepohl, 1989 H. Ltkepohl Uma nota sobre a distribuição assintótica das funções de resposta ao impulso de modelos VAR estimados com resíduos ortogonais J. Econometrics. Volume 42. 1989. pp. 371376 Ltkepohl, 1991 H. Ltkepohl Introdução à análise das séries temporais múltiplas 1991. Springer, Heidelberg Parzen, 1982 Modelos de E. Parzen ARMA para análise de séries temporais e previsão de previsão de J. Volume 1. 1982. pp. 6782 Paparodite e Streitberg, 1992 E. Paparodite. B. Streitberg Estatísticas de identificação de pedidos em modelos estacionários autoregressivos de média móvel: autocorrelações vetoriais e bootstrap J. Time Series Anal. Volume 13. 1992. pp. 415434 Ptscher, 1987 B. M. Resultados da convergência Ptscher para estimadores de tipo de máxima verossimilhança em modelos ARMA multivariados J. Multivariante Anal. Volume 21. 1987. pp. 2952 Saikonen, 1986 P. Saikonen Propriedades assintóticas de alguns estimadores preliminares para modelos de séries temporais em média autorregressivas J. Time Series Anal. Volume 7. 1986. pp. 133155 Silvia e Robinson, 1979 M. T. Silvia. E. A. Deconvolução Robinson da série temporal geofísica na exploração de petróleo e gás natural 1979. Elsevier, Amsterdam Wiener, 1993 N. Wiener O Fourier Integral e Certas de suas Aplicações 1993. Cambridge Univ. Press, Cambridge Withers e Withers, 1981 C. S Withers Teoremas do limite central para variáveis ​​dependentes I Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. Volume 57. 1981. pp. 509534 Corr: C. S Withers Teoremas do limite central para variáveis ​​dependentes I Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. Volume 63. 1981. p. 555 Zygmund, 1959 A. Zygmund, série trigonométrica. Volume Vol. 1. 1959. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1 Suportado pela Swiss National Science Foundation. Copyright 1995 Publicado por Elsevier B. V. Artigos citando () 2.1 Modelos médios móveis (modelos MA) Os modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e / ou termos médios móveis. Na semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor atrasado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos médios móveis. Um termo médio móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Deixe (wt overset N (0, sigma2w)), o que significa que o w t é idêntico, distribuído independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) O modelo de média em movimento da ordem Q , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele flip os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (desactuados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se os sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero no ACF teórico é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra ACF com autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice para este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (com excesso de N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por um gráfico deste ACF segue. O enredo que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não fornecerá um padrão tão claro. Usando R, nós simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se uma série de séries temporais dos dados da amostra. Nós não podemos dizer muito com essa trama. A amostra ACF para os dados simulados segue. Vemos um pico no intervalo 1 seguido de valores geralmente não significantes por atrasos após 1. Observe que o ACF da amostra não corresponde ao padrão teórico da MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações por atrasos após 1 serão 0 . Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características amplas. Propriedades terapêuticas de uma série de tempo com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores diferentes de zero no ACF teórico são para atrasos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos superiores são 0 . Assim, uma amostra de ACF com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas as autocorrelações não significativas para atrasos superiores indicam um possível modelo de MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são de 1 0,5 e 2 0,3. Uma vez que este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações diferentes de zero são A parcela do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados da amostra não se comportam tão perfeitamente quanto a teoria. Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). A série de séries temporais dos dados segue. Tal como acontece com a série de séries temporais para os dados da amostra MA (1), você não pode contar muito com isso. A amostra ACF para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo de MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos defasos 1 e 2, seguidos de valores não significativos para outros atrasos. Observe que devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para General MA (q) Modelos Uma propriedade de modelos de MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros atrasos de q e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não-singularidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) em MA (1) Modelo. No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor. Como exemplo, use 0,5 para 1. E depois use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0.4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Restringimos os modelos de MA (1) para ter valores com valor absoluto inferior a 1. No exemplo que acabou de ser dado, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 1 0.5 2 não será. Invertibilidade de modelos de MA Um modelo de MA é dito invertido se for algébricamente equivalente a um modelo de AR de ordem infinita convergente. Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 quando avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em software de série temporal usado para estimar os coeficientes de modelos com termos MA. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Nota de teoria avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo inversível. A condição necessária para invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q e q 0 tem soluções para y que se encontram fora do círculo da unidade. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. E, em seguida, simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. gráfico (Lag, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de parcela (o comando 3) traça atrasos em relação aos valores ACF para os atrasos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF, simplesmente use o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 acrescenta 10 para tornar a média 10. Padrões de simulação significa 0. gráfico (x, tipob, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostra simulados) No Exemplo 2, plotámos o ACF teórico do modelo xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. E, em seguida, simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R usados ​​foram acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Simulated MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Variance: (texto (xt) texto (mu wt theta1 w) 0 texto (wt) texto (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 . A razão é que, por definição de independência do peso. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w t tem 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série temporal, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo de MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem, demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituímos a relação (2) para w t-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) No momento t-2. A equação (2) torna-se então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Se continuássemos ( Infinitamente), obteríamos a ordem infinita modelo AR (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z pontos) Observe, no entanto, que, se 1 1, os coeficientes que multiplicam os atrasos de z aumentarão (infinitamente) de tamanho à medida que avançarmos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo de MA reversível (1). Modelo de ordem infinita MA Na semana 3, veja bem que um modelo de AR (1) pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Este somatório de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recorde na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Este último passo usa um fato básico sobre séries geométricas que requerem (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. Navegação